„Mathematische Grunderfahrungen bei Kindern im
Alter von vier bis fünf Jahren“
Heute habe ich gemeinsam mit den Kindern das
Mittagessen gemacht. Da wir Freitag haben, gibt es zum Nachtisch Eis! Darauf
freuen sie sich die ganze Woche und übernehmen gerne freiwillig den
Tischdienst, da sie wissen, dass sie dann das Eis holen dürfen. Bei mir in der
Abteilung gibt es Drillinge. Einer von ihnen war in der zweiten Runde
Tischdienst, der andere in der dritten. Heute dachte ich mir: „Mensch, so wenig
Kinder, es ist entspannt und wir sind gut in der Zeit … ich lass sie mal die
Kinder zählen und dann entsprechend das Eis holen. Vorab möchte ich gerne
erwähnen, dass die Beiden sehr gut entwickelt sind, vor allem auf der
kognitiven Ebene. In der zweiten Runde zählte „Maik“ 6 Kinder. Ich dachte mir: „Ok,
dann hol mal 6 Eis. Mal sehen, wer keines bekommt.“. Gemeinsam mit seinem
Tischdienstpartner ging er in die Küche. Als sie wiederkamen dachte ich: „Wow,
das sind aber mehr als 6. Warum bringt ihr plötzlich so viele?“ Die Antwort war
schon süß: „Wir haben vorsichtshalber ein paar mehr mitgebracht.“ Es waren 10 Eis
und wir hatten 12 Kinder. Sie haben es schnell bemerkt und die zwei fehlenden
nachgeholt.
In der dritten Runde, war nun sein Bruder und auch
er sollte die Kinder zählen. Die Antwort lautete: „Es sind 6 Kinder.“ Ich
antwortete darauf, dass ich die gleiche Antwort auch von seinem Bruder bekam.
Ich schickte die beiden Tischdienste los und auch sie kamen mit mehr Eis
zurück. Ich fragte sie wieder, weshalb sie mit mehr als 6 Eis zurückkommen und
er antwortete mir: „Auf dem Weg in die Küche, dachte ich mir, ich bringe mal 9
Eis mit.“ Es hätten im enddefekt 10 sein müssen, aber auch ihm machte es nichts
aus, noch eins nach zu holen.
Und so kam ich auf die Idee, mir über die Mathematik
in der Kita Gedanken zu machen! Natürlich habe ich mir auch Gedanken über die Antworten gemacht. Beide haben im Alter von 5 Jahren unabhängig voneinander eine unterschiedliche Anzahl Kinder gezählt und mir als Antwort "6" gegeben. Woran liegt es? An der Mathematik? Oder an der Tatsache, dass es sich um Zwillinge bzw. Drillinge handelt? Auch das ist eine interessante Frage und muss demnächst untersucht werden ;-)
In diesem Post soll es nun aber erst einmal um die Mathematik gehen.
Mathematische Grunderfahrungen im Wandel der Zeit
Friedrich Fröbel (1782–1852) brachte bereits Mitte des 19. Jahrhunderts mathematische Elemente in die vorschulische Bildung ein. Im Mittelpunkt seines pädagogischen Konzeptes stand die mathematische Bildung durch seine „Spielgaben“.
Die erste Spielgabe ist der Ball. Später folgten Walze und
Würfel. Es gibt vier Würfel, die aus unterschiedlichen
Formen zusammengesetzt sind. Mit diesen Formen lassen sich verschiedene Muster
legen, und die Kinder sammeln aufgrund der Eigenschaften der Körper und ihrer
Anzahl mathematische Erfahrungen.
Mitte des 20. Jahrhunderts wurden die Erkenntnisse von Piaget (1896–1980) bekannt. Er entwickelte den Zahlbegriff und beschrieb diesen derart, dass er nur über kognitive Fähigkeiten erworben werde. Die Voraussetzung dafür ist laut Piaget die sensomotorische Wahrnehmung des Kindes. Piaget fand bei seinen Untersuchungen heraus, dass Kinder den Zahlbegriff erwerben, indem sie sich die Klassenbildung und die Serienbildung aneignen. Ebenso benötigen die Kinder ein Verständnis der Zahlinvarianz. Hierzu hat Piaget drei Stufen entwickelt. Piaget behandelt in seiner Theorie das Zählen lernen nicht, obwohl nach Prof. Kristin Krajewski[1] die Zählfähigkeit und das Mengenverständnis im Vorschulalter eine wichtige Voraussetzung sind, um später gute Mathematikkenntnisse entwickeln zu können.
Leider hatte mit Beginn der
1980er Jahre die mathematische vorschulische Bildung im Kindergarten keinen
großen Stellenwert mehr. Es wurde mehr Wert auf die soziale Erziehung gelegt.
Erst durch das Ergebnis der ersten Pisa-Studie[2] im
Jahr 2000 haben sich unter anderem die Ansichten im Bezug auf die mathematische
Bildung im Vorschulbereich geändert. Erst mit dem Ergebnis der zweiten
Pisa-Studie im Jahr 2003 konnte nachgewiesen werden, dass mathematische Bildung
bereits vor der Einschulung beginnt. Die 15-jährigen Jugendlichen, die mehr als
ein Jahr zur Kita gegangen waren, hatten bessere mathematische Kompetenzen als
andere Kinder.
Aufgrund der Ergebnisse aus der Pisa-Studie
verständigten sich die 16 Bundesländer auf der Jugendministerkonferenz 2004 zur
Erstellung von Rahmenplänen für den Elementarbereich. Im Mittelpunkt steht das
ganzheitliche Lernen, das heißt, dass die Kinder mit all ihren Sinnen lernen.
Die Vorgaben der Jugendministerkonferenz für die Bundesländer verlangen im
Bereich der Mathematik, dass „der natürliche
Entdeckungsdrang der Kinder dazu genutzt werden soll, den entwicklungsgemäßen
Umgang mit Zahlen, Mengen und geometrischen Formen, mathematische
Vorläuferkenntnisse und -fähigkeiten zu erwerben.“[3]
Da in Deutschland nach Art. 30 GG das
Bildungswesen in der Zuständigkeit der Länder liegt, sind bis 2006 sechzehn
verschiedene Rahmenpläne entstanden. Diese haben unterschiedliche Schwerpunkte
und unterscheiden sich zum Teil stark voneinander. Dies zeigen schon die
unterschiedlichen Titel wie zum Beispiel „Bildungsprogramm“,
„Orien-tierungsplan“, „Grundsätze“ oder „Bildungsempfehlungen“. Auch speziell
im Bereich Mathematik gibt es Unterschiede. Einige Rahmenpläne haben einen
eigenen Mathematikteil, andere haben, wie auf der Jugendministerkonferenz, die
Mathematik mit den Naturwissenschaften und der (Informations-)Technik
zusammengefasst.
Mathematische Grunderfahrungen im Berliner
Bildungsprogramm
Auch im Berliner Bildungsprogramm ist der Bereich
der Mathematik enthalten. Hier wird beschrieben, wie bedeutsam das
mathematische Lernen ist. Auf die Zahlen, das Messen, das Vergleichen, die Zeit
und die Geometrie wird direkt eingegangen. In allen Bildungsbereichen steht das Kind im
Mittelpunkt, was durch die drei Unterkapitel „Das Kind in seiner Welt“, „Das
Kind in der Kindergemeinschaft“ und „Weltgeschehen erleben, Welt erkunden“, die
es für jeden Bildungsbereich gibt, deutlich wird. Ebenso wird betont, dass
keine geschlechtsspezifischen Unterschiede gemacht werden sollen, um die
Chancengerechtigkeit zu wahren. Wichtig ist laut diesen Vorgaben auch, dass
sich Erzieherinnen/Erzieher, die eine Abneigung gegenüber der Mathematik haben,
dennoch damit beschäftigen.
Im Berliner Bildungsprogramm werden für die
Umsetzung der einzelnen Bildungsbereiche zu den jeweiligen drei Unterkapiteln
Analysefragen gestellt; zum Beispiel wird in Bezug auf die mathematischen
Grunderfahrungen im Unterkapitel „Das Kind in seiner Welt“ gefragt: „Zeigt das
Kind Interesse an seinem Alter, an Zahlen, Telefonnummern oder ähnlichen
Symbolen?“ Weitere Informationen und Anregungen für die Umsetzung erhalten die
Erzieherinnen/Erzieher in dem Abschnitt „Bildungsaufgaben für die Erzieherinnen
und Erzieher“, den es zu jedem Unterkapitel gibt. Hier werden zu den
Unterpunkten Alltagssituationen, Spielangebote, Projektthemen und Raumgestaltung Beispiele und Vorschläge genannt, wie zum Beispiel
„Kalender für wichtige Ereignisse (Geburtstag, Feste, Reise …)“.
Die Ziele werden in die vier Kompetenzen
„Ich-Kompetenz“, „Soziale Kompetenz“, „Sachkompetenzen“ und „Lernmethodische
Kompetenzen“ unterteilt, welche auch wieder in den drei Unterkapiteln zu finden
sind. Die Ziele orientieren sich an dem zu erwartenden Ergebnis, wie zum
Beispiel „Sein Alter kennen“ oder „Seine Hausnummer, seine Telefonnummer
kennen“.
Darüber hinaus gibt es noch weitere Projekte und
Methoden, von welchen ich einige im folgenden Abschnitt vorstellen werde.
Mögliche Projekte und Methoden zur Vermittlung von mathematischen Grunderfahrungen
In der letzten Zeit sind viele Projekte entstanden,
um Kinder in die Welt der Zahlen einzuführen. Im Folgenden werde ich einige
kurz vorstellen.
Komm mit ins Zahlenland
Bei diesem Konzept bauen die Kinder mit der
Erzieherin ein gemeinsames Zahlenland auf. Das Zahlenland besteht aus mehreren
Zahlenstädten. In jeder Stadt wohnt eine Zahlenfigur. Sie hat ein Gesicht, um
die Zahlen lebendig zu gestalten. Die Zahlenfigur hat ein Zahlenhaus, einen
Zahlengarten und einen Zahlenturm. Das Zahlenhaus hat eine der Bewohnerzahl
entsprechende Anzahl von Fenstern. Der Zahlengarten ist geometrisch geformt und
hat genau die Anzahl an Ecken, die zum Bewohner passen, ebenso hat der Turm so
viele Etagen. Außerdem gibt es den Zahlenweg. Dieser wird aus Zahlenkarten von
Null bis Zehn gebildet und führt in die Zahlenstadt, um die es geht. Die Zahlen
werden durch Lieder, Geschichten und Spiele näher gebracht. Auch die Zahlenfee
und der Zahlenkobold spielen mit: Der Zahlenkobold bringt die Gärten
durcheinander und verschiebt den Zahlenweg. Die Kinder sollen dann versuchen,
alles wieder rückgängig zu machen. Wenn die Kinder Hilfe brauchen, können sie
die Zahlenfee rufen, die sie unterstützt.
Das kleine Zahlenbuch
Bei dem „Kleinen Zahlenbuch“ handelt es sich um
eine Spielesammlung. Diese
Spielesammlung enthält das kleine Zahlenbuch, acht Spielpläne, blaue und rote Plättchen, eine Spielfigur und einen Würfel. Die Kinder können eigenständig oder auch mit
Erwachsenen die mathematischen Spiele spielen. Diese Spielesammlung ist
Bestandteil des Frühförderprogramms „mathe 2000“. „mathe 2000“ gibt es schon seit über 20 Jahren. Es wurde an der TU
Dortmund entwickelt und hat zum Ziel, „ein schlüssiges Konzept für das Lernen
von Mathematik von der Kindertageseinrichtung bis zum Abitur aus einem Guss zu
entwickeln“[4].
Mathematik erfinden mit gleichem Material in großer
Anzahl
Die Kinder erhalten eine große Menge von einem
Material. Zum Beispiel 1-Cent-Stücke. Die Kinder bekommen keine Vorgaben und
können alleine oder gemeinsam Ideen entwickeln. Die Erzieherin muss mit den
Kindern im Gespräch bleiben, um über die entstandenen Erfindungen zu sprechen.
Montessori-Material
Es gibt verschiedene Montessori-Materialien, die in drei Kategorien
unterteilt werden. Sinnesmaterial, Sprachmaterial und mathematisches Material. Das
mathematische Material eignet sich auch für die Verwendung im Kindergarten. Zu
den mathematischen Materialien gehören unter anderem Numerische
Stangen, Sandpapierziffern,
goldenes Perlenmaterial, geometrische Körper, Spindelkasten und vieles mehr.
Die Ideen von Fröbel spielen in unseren
Kindergärten leider keine große Rolle mehr. Außerhalb Deutschlands beeinflusst
er immer noch die vorschulische Bildung. Piaget hingegen spielt trotz der
früheren Fehlinterpretationen bis heute eine nicht zu unterschätzende Rolle in
der vorschulischen Bildung.
Obwohl das Berliner Bildungsprogramm den Erziehern
gute praxisorientierte Beispiele für den alltäglichen Umgang mit der Mathematik
bietet, werden keine theoretischen Grundlagen zur mathematischen
Grunderfahrung, wie sie zum Beispiel Piaget aufgestellt hat, erwähnt. Auf diese
mathematische Grunderfahrung werde ich im Folgenden eingehen.
Was ist Mathematik?
Für Mathematik gibt es keine allgemein gültige
Definition. Eine Definition, die vor rund zweieinhalbtausend Jahren aktuell
hätte sein können, lautet: „Mathematik
ist die Wissenschaft von den Zahlen“.[5]
Heute umfasst die Mathematik mehr Bereiche als nur das Rechnen mit Zahlen.
„Mathematik
ist die Wissenschaft von den Mustern“[6] (Keith Devlin S. 5). Mit dieser Definition geben
sich einige der zeitgenössischen Mathematiker zufrieden, denn Muster spielen in
vielen Bereichen der Mathematik eine Rolle, zum Beispiel als abstrakte
Zahlenmuster, Formenmuster, Verhaltensmuster, Bewegungsmuster und so weiter.
Jedoch können die meisten mit dieser Definition nicht
viel anfangen. In dem Buch „Zahlen, Spiralen und magische Quadrate“ wird die
Mathematik besonders verständlich für Kinder dargelegt. [7] Die
wichtigsten Aussagen lauten:
1. „Mathematik ist eine Sprache.“ Diese
Mathematik-Sprache beinhaltet Wörter wie Quadrat, Primzahl, Oktaeder usw.,
welche mit der Absicht eingeführt wurden, die mathematische Arbeit und
Vorgehensweise zu beschreiben. Für denjenigen, der die Sprache der Mathematik
nicht beherrscht, ist sie unverständlich, wie es auch für „natürliche“ Sprachen
gilt, aber man kann sie erlernen. Mathematik ist die einzige Sprache, die auf
der ganzen Welt gesprochen und verstanden wird, da sie zu einem großen Teil aus
Symbolen besteht, die immer und überall gleich sind.
2. Mathematik ist Fantasie, Raten und verrückte
Ideen. Mathematik wird nicht nur erforscht, um anderen nützlich zu sein,
sondern weil die Erforscher hier ihre Fantasie spielen lassen können und neue
Gedankengänge und Begriffe erfinden können, etwa die Integralrechnung; diese
Konstruktion ist mit nichts zu vergleichen, das real existiert, aber trotzdem hat
sie ihren Nutzen.
3. „Mathematik ist ein Werkzeug“, welches unter
anderem Forschern hilft, die Natur zu untersuchen, z. B. das Universum.
4. „Mathematik ist ein Hilfsmittel“, da sie von
jeglicher Technik genutzt wird. Meteorologen berechnen beispielsweise, wie sich
das Wetter in den nächsten Tagen voraussichtlich entwickeln wird.
5. „Mathematik ist überall!“ Man findet sie in
Gebäuden, in Pflanzen und Tieren, in der Kunst – einfach überall, wo wir
hinschauen, gibt es Mathematik.
Was sind mathematische Grunderfahrungen?
Die mathematischen Grunderfahrungen lassen sich in folgende
drei Bereiche aufteilen: pränumerische, numerische und geometrische Erfahrungen.
Auf diese Unterteilung möchte ich in diesem Abschnitt weiter eingehen.
Pränumerische Erfahrungen
Bei den pränumerischen Erfahrungen handelt es sich
um den Teil der Mathematik, in welchem die Zahlen noch keine Rolle spielen.
Dazu gehören das Vergleichen, die Klassifikation, Serition, die Zuordnung und die
Invarianz.
Beim Vergleichen müssen die Kinder an zwei Objekten
unterschiedliche oder identische Merkmale erkennen. Dies können Kinder, sobald
sie in der Lage sind, Merkmale isoliert zu betrachten.
Bei der Klassifikation spielt das Vergleichen
ebenso eine Rolle. Es werden mehrere Objekte nach Verschiedenheit oder
Gleichheit geordnet und so in Klassen
eingeteilt. Die Kinder wenden das Klassifizieren beim Spielen an, indem sie
Spielsachen nach Farben, Formen oder ihrer Verwendung ordnen. Zu Beginn
sortiert das Kind nach zwei Kategorien, so zum Beispiel alle Kuscheltiere hier
und dort keine. Später können sie nach einer Eigenschaft sortieren, also etwa alle
Teddybären hierhin, alle anderen dorthin. Danach wird nach mehreren
Eigenschaften sortiert: Teddys, Hasen, Hunde. Zum Schluss stellen die Kinder
fest, dass die Kuscheltiere nach mehreren Kategorien sortiert werden können:
Teddys, die brummen, weiße Hasen, gefleckte Hunde usw.
Die nächste Form des Ordnens ist die Seriation. Hierbei
werden die Gegenstände aufsteigend oder absteigend angeordnet. Die Kinder
können die Objekte nach Größe und Gewicht anordnen, aber es können auch Farben
oder Töne von hell nach dunkel oder von tief nach hoch sortiert werden. Eine
wichtige Voraussetzung, um eine Reihe bilden zu können, ist die räumliche
Orientierung. Durch die Seriation lernen die Kinder, dass auch Zahlen eine
aufsteigende Zahlenreihe bilden. Haben Kinder Schwierigkeiten mit der Seriation , können sie kein echtes Zahlenverständnis
aufbauen.
Mit der Eins-zu-eins-Zuordnung
machen die Kinder schon früh Erfahrungen, zum Beispiel beim Zuordnen der Strümpfe
zu den Füßen. Später wird die Eins-zu-eins-Zuordnung auch bei Zahlen und Mengen
angewandt. Mengen können mit der Eins-zu-eins-Zuordnung nach ihrer Mächtigkeit
verglichen werden. Hierbei werden
die Objekte von zwei Mengen einander paarweise zugeordnet. Wenn kein Objekt von
einer der Mengen übrig bleibt, sind die Mengen gleich mächtig. Bleibt etwas
übrig, ist die entsprechende Menge größer als die andere. Hierbei darf jedes Element nur einmal gezählt
werden. Damit einem Kind diese Eins-zu-eins-Zuordnung gelingt, muss es
Strategien entwickeln, um Fehler wie etwa das Auslassen oder doppelte Zählen
von Elementen zu vermeiden. Die Kinder legen sich also die Elemente in eine
Reihe oder nehmen die Finger zu Hilfe.
Die Invarianz bedeutet, dass die Größe einer Menge
auch dann gleich bleibt, wenn die Anordnung der Menge verändert wird –
unabhängig davon, ob es eine strukturelle Änderung ist, bei der man die
Anordnung der Objekte verändert, oder ob die Objekte gegen kleinere Objekte ausgetauscht
werden, was eine qualitative Änderung wäre.
Piaget[8]
hat zum Erlernen der Unveränderlichkeit von Mengen (Invarianz) ein
Drei-Stufen-Modell erstellt:
Auf der ersten Stufe hat das
Kind nicht die Fähigkeit, eine Eins-zu-eins-Zuordnung herzustellen (4–5 Jahre).
Eine Eins-zu-eins-Zuordnung
ist auf der zweiten Stufe eingeschränkt möglich, jedoch überwiegt bei den
Kindern der visuelle Eindruck. Daher handelt es sich hierbei um eine
Übergangsphase, und die Kinder haben das Invarianzprinzip noch nicht
verinnerlicht.
Auf der letzten Stufe (6–7Jahre)
verstehen die Kinder das Prinzip der Zahlinvarianz und begreifen, dass eine
Menge nach Umordnung gleich bleibt.
Die pränumerischen Erfahrungen
legen einen wichtigen Grundstein für das spätere mathematische Verständnis.
Alle hier genannten Punkte mit Ausnahme der Invarianz können schon früh in den
Kindergartenalltag eingebracht werden. Parallel zu den pränumerischen
Erfahrungen beginnen die Kinder, Erfahrungen im numerischen Bereich zu sammeln.
Numerische Erfahrungen
Bei den numerischen Erfahrungen geht es um den
Umgang mit Zahlen und das Zählen. Um mit Zahlen umgehen zu können, müssen
Kinder die unterschiedlichen Bedeutungen und Verwendungen von Zahlen begreifen.
Daher gehe ich im Folgenden auf die Punkte Zahlaspekte, Zählen, Zahlwortfolge
und Zahlprinzipien ein.
Zahlaspekte
Zahlen sind nicht einfach nur Zahlen, mit denen wir
rechnen können. Sie drücken auch unterschiedliche Aspekte und Bedeutungen aus.[9]
Der Kardinalaspekt steht für die Mächtigkeit einer
Menge, das heißt die Zahl gibt an, wie viele Elemente enthalten sind
(z. B. 5 Autos).
Der Ordinalaspekt gibt die
Stelle in einer Reihe an, das heißt die Zahl lässt drauf schließen, an welcher
Position sich das Element befindet. (z. B. das 5. Auto ist rot).
Beim Codierungsaspekt stehen die Zahlen für
„Namen“. Hierzu gehören zum Beispiel Telefonnummern, Hausnummern und
Trikotnummern (z. B. die 13 auf dem Trikot von Ballack).
Der Maßzahlaspekt steht für eine Größe, das heißt
die Zahl gibt ein Verhältnis zu einer bestimmten Einheit (Länge, Gewicht) an
(z. B. das Auto wiegt 5 g).
Der Operatoraspekt steht für die Häufigkeit, das
heißt die Zahl gibt einen Faktor an (z. B. das Auto kann 5-mal aufgezogen
werden).
Der Rechenzahlaspekt steht für das Rechnen, das
heißt zwei Zahlen mit gleicher oder unterschiedlicher Mächtigkeit können zum
Rechnen verwendet werden (z. B. 5 + 4 = 9).
Der relationale Zahlaspekt zeigt an, welche
Beziehungen zwischen Zahlen auftreten können (die 6 liegt zwischen 3 und 9,
oder 5 kommt vor 8).
Beim narrativen oder kulturellen Zahlaspekt steht
die Zahl für ein Symbol oder wird in Märchen verwendet (z. B. die
Unglückszahl 13 oder „Der Wolf und die
sieben jungen Geißlein“).
Beim geometrischen
Zahlaspekt stehen die Zahlen für geometrische Gegebenheiten, das heißt die Zahlen geben geometrischen Formen
Ausdruck (z. B. Viereck, Fünfeck).
Hinzu kommen noch das
Abzählen und das Auszählen. Beim Abzählen werden alle Elemente einer Menge
gezählt und somit die Größe der Menge durch eine Zahl bestimmt. Beim Auszählen
wird eine Zahl vorgegeben, welche aus einer Menge entnommen wird.
Zählen
Das Zählen lernen beginnt mit dem Spracherwerb. Die
Kinder beginnen, Zahlwörter nachzusprechen, und sie merken sich das eine oder
andere Zahlwort. Die Kinder lernen Zahlen in ihrer Umgebung kennen, wie das eigene
Alter oder Hausnummern. Zu Beginn geben die Kinder die Zahlen beim Zählen noch
in einer falschen Reihenfolge wieder. Dies wird asynchrones Zählen genannt. Die
Kinder haben noch keinen Bezug zu den einzelnen Zahlen und deren Stellenwert.
Sie zählen alle Zahlen auf, die sie sich gemerkt haben.
Wenn die Kinder einen Bezug zu den einzelnen
Zahlwörtern aufgebaut, deren Bedeutung erkannt haben und sie sinnvoll einsetzen
können, spricht man vom synchronen Zählen.
Dies verlangt das Zusammenspiel verschiedener Sinne
und eine hohe kognitive Leistung der Kinder. Wenn die Kinder mit dem Zählen
beginnen, ist es für sie wichtig, dass sie die Gegenstände beim Zählen
berühren. Mit der Zeit reicht es den Kindern, nur auf die Objekte zu zeigen, da
sie sich die Objekte jetzt vorstellen können. Dies wird auch noch in der Schule
beim resultativen Zählen genutzt, indem die Kinder zum Zählen ihre Finger
benutzen.
Es ist sehr schwer zu unterscheiden, ob ein Kind
schon das resultative Zählen beherrscht oder noch beim synchronen Zählen ist.
Ein Beispiel hierzu: Lässt man ein Kind für jedes Familienmitglied (z. B.
5 Personen) einen Apfel holen und kommt das Kind mit der richtigen Anzahl
zurück. Wenn das Kind nur mit dem synchronen Zählen vertraut ist, wird es wie
folgt vorgehen: ein Apfel für Mama, ein Apfel für Papa, ein Apfel für Paul, ein
Apfel für Paula und ein Apfel für mich. Dies ist das Prinzip der Eins-zu-eins-Zuordnung. Ein Kind, das das resultative Zählen beherrscht,
zählt hingegen alle Personen, kommt auf das Ergebnis fünf und geht fünf Äpfel
holen. Dies entspricht dem schon genannten Kardinalaspekt.
Zahlwortreihe
Fuson[10]
hat zum Erwerb der Zahlwortreihe fünf Entwicklungsschritte aufgestellt. Der
erste Entwicklungsschritt ist die Zahlwortreihe als Ganzheit. Die Kinder können
die Zahlwortreihe nur als ein Wort aufsagen („einszweidreivierfünf“) und müssen
immer vom Anfang bis zum Ende zählen. Der nächste Schritt (unflexible
Zahlwortreihe) ist daran zu erkennen, dass die Kinder die Zahlwörter trennen
(eins zwei drei vier fünf). Sie müssen immer noch mit eins beginnen, können
aber bis zu einer vorgegebenen Zahl zählen. Im dritten Schritt (teilweise
flexible Zahlwortreihe) können die Kinder von einer bestimmten Zahl an
weiterzählen. Sie kennen den Vorgänger und Nachfolger einer Zahl, und die
Zahlwörter werden getrennt wahrgenommen. Die Kinder entwickeln die Fähigkeit,
rückwärts zu zählen. Einige Kinder können, bevor sie eingeschult werden,
rückwärtszählen oder können von einer beliebigen Zahl an weiterzählen. Beim
vierten Entwicklungsschritt (flexible Zahlwortreihe) werden Zahlen zu zählbaren
Einheiten. Dies kann zur Addition und Subtraktion benutzt werden. Das Kind kann
rechnen, indem es abzählt. Es zählt von einer Zahl um eine bestimmte Anzahl
weiter, damit es auf das Ergebnis kommt. Zum Beispiel bei
5 + 4 = 9: fünf è sechs, sieben,
acht, neun. In der letzten Entwicklungsstufe (vollständig reversible
Zahlwortreihe) können Kinder von einer beliebigen Zahl vorwärts und rückwärts
in gleicher Geschwindigkeit zählen. Die Kinder haben die Einsicht, dass Zahlen
zerlegt werden können (Teil-Ganzes-Schema) und dass Addition und Subtraktion
sich jeweils umkehren.
Zählprinzipien
Es gibt fünf
Zählprinzipien, die von Gelmann und Gallistel[11] aufgestellt wurden. Bei
den ersten drei Prinzipien handelt es sich darum, wie gezählt wird. Das erste
Prinzip entspricht der Eins-zu-eins-Zuordnung, die ich bereits zuvor unter
Punkt 2.3.1 näher beschrieben habe.
Das zweite Prinzip ist
das Prinzip der stabilen Reihenfolge, bei dem die Zahlwörter in der richtigen
Reihenfolge genannt werden müssen, um auf ein korrektes Ergebnis zu kommen.
Dies muss auch immer wiederholbar sein.
Das dritte Prinzip ist
das Kardinalsprinzip: Die Kinder zählen die Elemente und wissen, dass das
letzte Element die Größe der Menge ist. Das heißt die Kinder können, wenn sie
dieses Prinzip beherrschen, die Frage beantworten: „Wie viele sind das?“
Voraussetzung hierfür ist, dass die Kinder mit den ersten beiden Prinzipien
sicher umgehen können.
Bei den letzten zwei
Prinzipien handelt es sich um die Voraussetzung, die ersten drei Prinzipien
anwenden zu können. Das vierte Prinzip ist das Abstraktionsprinzip, für das die
Kinder erst einmal verstehen müssen, dass ein Zahlwort kein bestimmtes Objekt
beschreibt, sondern für eine Menge von Gegenständen steht.
Das fünfte Prinzip ist
das Prinzip der Irrelevanz der Reihenfolge. Beim Zählen spielt es keine Rolle,
in welcher Reihenfolge gezählt wird. Das Kind muss verstehen, dass sich das
Ergebnis nicht ändert, wenn zum Beispiel einmal das blaue Auto und einmal das
rote Auto die 5 ist.
Diese Prinzipien werden
von den Kindern im Laufe der Zeit verinnerlicht. Noch bevor die Kinder
sprachliche Fertigkeiten besitzen, können sie die Eins-zu-eins-Zuordnung und
die stabile Reihenfolge gelernt haben. Im Alter von 5 Jahren sollten die fünf
Zählprinzipien beherrscht werden.
Mengenvorstellung
In der Säuglingsforschung hat man herausgefunden,
dass Säuglinge kleinere Mengen (bis zu drei) unterscheiden können; somit ist
diese Fähigkeit wahrscheinlich angeboren.
Ein wichtiger Bestandteil der Mengenvorstellung ist
das Simultanerfassen von Gegenständen. Das Simultanerfassen ist die Fähigkeit,
eine kleine Menge zu erkennen, ohne sie abzuzählen. Erwachsene können bis zu
sechs Gegenstände erfassen.
Durch den Spracherwerb entdecken Kinder einen neuen
Weg, um sich Mengen zu erschließen, zum Beispiel durch Wörter wie „wenig“,
„viel“, „mehr“, „voll“ etc., und sie lernen das Zählen.
Nach Resnick können Kinder im Alter von 3 bis 4
Jahren zwei Mengen im direkten Vergleich mehr oder weniger bestimmen. Die
Kinder beginnen, die Abfolge der Zahlennamen mit den Mengen zu verbinden, und
können sagen, welche Zahl mehr angibt. Im Alter von 4 bis 5 Jahren verstehen
die Kinder, dass man eine Menge zerlegen und wieder zusammenfügen kann.
Der zweite wichtige Grundstein, der im Kindergarten
gelegt wird, sind die numerischen Erfahrungen. Da die Zählprinzipien vor der
Einschulung beherrscht werden sollten, ist dies ein wichtiger Teil der
mathematischen Arbeit im Kindergarten.
Als letzten, jedoch nicht weniger wichtigen Teil,
stelle ich nun noch die geometrischen Erfahrungen dar.
Geometrische Erfahrungen
Die geometrischen Erfahrungen können in drei
Bereiche unterteilt werden: das Sehen und Vorstellen, Raumerfahrungen und -orientierung
sowie Flächen und Körper.
Geometrische Grunderfahrungen machen Kinder schon
im ersten Lebensjahr. Sie beginnen, durch Sehen und Fühlen ihre nähere Umgebung
wahrzunehmen. Sie machen Erfahrungen im Raum erst dadurch, dass sie sich um
sich selbst drehen, dann durch Sitzen und Krabbeln und später durchs Laufen.
Die Kinder lernen die Lagebeziehungen von ihrem
eigenem Körper aus („oben“, „unten“, „vorne“, „hinten“, „links“, „rechts“). Die
meisten Kinder kommen vor Schulbeginn mit den Begriffen „oben“, „unten“, „neben“,
„vor“ und „hinter“ gut zurecht. Schwierigkeiten haben Kinder mit „rechts“ und
„links“ (dies ergab eine Vorkenntniserhebung[12]
bei Schulanfängern).
Ebenso gehört zu den geometrischen Grunderfahrungen
das Erfassen von räumlichen Beziehungen. Hierfür muss das Kind in der Lage
sein, sich in die räumliche Situation hineinzuversetzen, damit es ein Objekt
aus einem anderen Blickwinkel erkennen kann.
Wenn man an Geometrie denkt, fallen einem als
erstes die geometrischen Formen ein, wie Viereck, Kreis und Dreieck. Diese
Formen und Figuren können Kleinkinder schon unterscheiden, obwohl sie die
Begriffe noch nicht kennen. In einer Untersuchung von Clements (2004) konnten
vierjährige Kinder bereits Kreise und Quadrate erkennen. Bei verschiedenen
Rechtecken und Dreiecken hatten diese Kinder Schwierigkeiten. Für Kinder ist
nur ein gleichschenkliges Dreieck ein Dreieck. Bei Körpern haben die Kinder
mehr Schwierigkeiten, eine Beziehung herzustellen. Es gelingt den Kindern bei
Zylindern, Kugeln und Quadern, eine Beziehung zur Umwelt herzustellen.
Auch geometrische Erfahrungen werden im
Kindergarten gesammelt, da hier die Kinder einen Großteil des Tages verbringen.
In dieser Zeit lernen sie, sich in der Umwelt zu orientieren.
Die Funktionsräume
bieten den Kindern viele Möglichkeiten, mathematische Erfahrungen zu sammeln.
Zum einen gibt es eine große Anzahl an Puzzles. Beim Puzzeln wird die räumliche
Wahrnehmung gefördert. Zum anderen gibt es auch mehrere Zahlenspiele (zwei
davon als Puzzle, die anderen als Zuordnung von Ziffer zur Menge). Weitere
mathematische Alltagserfahrungen machen die Kinder beim Tischdecken. Jeden Tag
sind drei oder vier Kinder dafür zuständig. Sie müssen darauf achten, dass
jedes Kind einen Teller, Becher und Besteck hat. Dadurch werden die Kinder sicherer
in der Eins-zu-eins-Zuordnung. Auch auf den Ausflügen machten die Kinder entsprechende
Erfahrungen: „Mit welchem Bus oder welcher Bahn fahren wir?“ oder „Um welche Uhrzeit
müssen wir da sein?“ Ein wichtiges Thema in der Gruppe ist, dass die Kinder
wissen sollen, in welcher Straße sie wohnen und welche Hausnummer sie haben,
damit ihnen geholfen werden kann, sollte ein Kind auf einem Ausflug die Gruppe
verlieren. Die Kinder machten zudem mathematische Erfahrungen im Garten – ob
beim Fußballspielen durch das Zählen der Tore oder im Herbst beim
Kastaniensammeln.
Um mir ein Bild
von den Mengenvorstellungen der Kinder zu machen, teste ich, ob die Kinder
schon Gegenstände simultan erfassen können. Hierfür nutze ich Plastikkreise und
lege fünf Kreise aus. Ich frage die Kinder einzeln, wie viele Kreise es sind.
Ich beobachte, ob die Kinder zählen oder ob sie mir gleich die Menge nennen
können. Wenn sie zählen, die Menge also nicht simultan erfassen, sammle ich die
Kreise danach wieder ein. Dann lege ich neue Kreise aus. Diesmal gibt es einen
weniger, und ich frage wieder nach der Anzahl. Wenn mir ein Kind spontan die
Anzahl der Kreise nennt, gehe ich davon aus, dass das Kind diesmal die Kreise
simultan erfasst. Dies überprüfe ich, indem ich die Kreise entferne und
dieselbe Anzahl von Kreisen in einer anderen Anordnung wieder auslege.
Um festzustellen,
ob die Kinder Mengen unterscheiden können, lasse ich sie beispielsweise zwei mit Wasser gefüllte Becher und Kastanienhaufen
unterscheiden. Alle Kinder können angeben, in
welchem der
zwei Bechern sich mehr Wasser befindet.
In
meinem nächsten Artikel werde ich Euch zu diesem Thema ein bereits
durchgeführtes Zahlenprojekt vorstellen!
[1] Vgl. Heinz Aiso, Grüßling (Hg.):
Mathematiklernen vom Kindergarten bis zum Studium. Münster: Waxmann Verlag,
2009; S. 18ff.
[2]
Die Pisa-Studie ist ein
internationaler Vergleich, der alle 3 Jahre durchgeführt wird. Hierbei werden
15-jährige Jugendliche auf ihre Kenntnisse in den Bereichen Lesekompetenz,
mathematische Kompetenz und naturwissenschaftliche Grundbildung überprüft.
_BSJMK_KMK.pdf;
S.4 (Stand: 06.02.2011).
[4]
Pauen Sabina, Herber Viktoria
(Hg.): Vom Kleinsein zum Einstein. Berlin, Düsseldorf: Cornelsen Verlag
Scriptor, 2003; S. 54.
[5] Devlin Keith: Muster der Mathematik:
Ordnungsgesetze des Geistes und der Natur. 2., Heidelberg, Berlin: Spektrum
Akademischer Verlag, 2002; S. 2.
[6] Devlin Keith 2002; S. 5.
[7] Vgl. Dahl Kristin/Nordqvist Sven:
Zahlen, Spiralen und magische Quadrate. Hamburg: Verlag Friedrich Oetinger,
1996; S. 7ff.
[8] Vgl.
Piaget Jean, Szeminska Alina: Die Entwicklung des Zahlenbegriffs beim Kinde.
3., Stuttgart: Ernst Klett Verlag, 1972; S. 42ff.
[9] Vgl. Feuerlein
Renate, Andrea Przybilla: Zahlenspaß für Kleine, Mathematische Fähigkeiten im
Vorschulalter fördern. Freiburg: Verlag Herder, 2008.
[10] Vgl.
Gasteiger Hedwig: Elementare mathematische Bildung im Alltag der
Kindertagesstätte. Münster: Waxmann Verlag, 2010; S. 41ff.
[11] Vgl. Gasteiger Hedwig: 2010; S. 37f.
[12] Vgl. Gasteiger Hedwig: 2010; S. 60.
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